HADAMARD (J.)


HADAMARD (J.)
HADAMARD (J.)

Le mathématicien Jacques Hadamard (né à Versailles, mort à Paris) a eu une grande influence sur l’école française de mathématiques au début du siècle. S’il reste l’héritier de la grande tradition des analystes du XIXe siècle dans ses travaux sur les fonctions analytiques, dont il tire de belles conséquences arithmétiques, il apparaît aussi comme un précurseur dans la théorie des équations aux dérivées partielles, dont il est un des fondateurs sous sa forme moderne.

Fonctions analytiques

Les premiers travaux d’Hadamard, à la faculté des sciences de Bordeaux, décrivent et classent les singularités du prolongement analytique de la somme d’une série entière:

à partir des propriétés de la suite (a n ) des coefficients de Taylor. Introduisant la notion de limite supérieure d’une suite qui se révèle essentielle dans toutes ces questions, il donne, dans un premier mémoire de 1888, l’expression:

du rayon de convergence R dans le cas général. En fait, cette expression figurait déjà dans le Cours d’analyse (chap. VI) de Cauchy en 1821, mais celui-ci ne disposait pas du formalisme nécessaire pour une définition explicite de la limite supérieure. Dans sa thèse de 1892, il obtient un critère pour qu’un point du cercle de convergence soit singulier et en tire aussitôt le théorème qui affirme que la série «lacunaire»:

où la suite des entiersn est telle quen+1 /n 閭 礪 1, admet son cercle de convergence comme coupure , c’est-à-dire que tous les points de ce cercle sont singuliers. Introduisant les déterminants symétriques: appelés traditionnellement déterminants d’Hadamard, il tire de l’étude des quantités:

l’expression du rayon de méromorphie de la série, c’est-à-dire le rayon du plus grand disque de centre O dans lequel il existe un prolongement méromorphe. Plus généralement, Hadamard définit, en liaison avec la croissance de la fonction, l’ordre d’un point singulier, puis l’ordre du cercle de convergence. Enfin, toujours à propos de la question des singularités, il faut mentionner le résultat de 1898 sur la «composition des singularités»: toute singularité de la série a n b n z n est de la forme 見廓, où 見 et 廓 sont des singularités de a n z n et de b n z n respectivement.

L’étude du genre des fonctions entières conduit Hadamard aux grands problèmes de la théorie des nombres. Dans un mémoire de 1896, il montre que la fonction zêta n’a pas de zéros sur la droite Re z = 1. Ce résultat lui permet d’obtenir la première démonstration complète du fameux théorème, conjecturé par Legendre, sur la distribution des nombres premiers: désignant par 神 (x ) la quantité de nombres premiers inférieurs à x , on a:

ce résultat a été démontré à peu près simultanément par C. de La Vallée-Poussin selon une méthode un peu plus compliquée. La démonstration d’Hadamard à partir de la fonction zêta permet d’obtenir la distribution des nombres premiers dans une progression arithmétique quelconque.

Enfin le «théorème des trois cercles» affirme que si M(r ) désigne le maximum du module d’une fonction analytique dans le disque |z | 諒 r , la fonction ln M(r ) est convexe.

Équations aux dérivées partielles

Cherchant toujours à rester en contact étroit avec l’«intuition physique», Hadamard a consacré un grand nombre de publications aux équations aux dérivées partielles et s’est toujours intéressé à ce sujet. On lui doit tout d’abord la notion de «problème correctement posé». Amené à l’introduire par une réflexion sur la signification physique de nombreux problèmes aux limites, il impose aux solutions de dépendre continûment des données: «Si l’on modifie légèrement les données (et, éventuellement, un nombre fini de leurs dérivées), la solution doit peu varier; autrement, nous n’avons pas une solution physique de notre problème, puisque, en pratique, les données ne sont connues qu’avec une certaine approximation.» Ces préoccupations ont été très enrichissantes, car elles ont fait sentir la nécessité de préciser la notion de proximité des fonctions et, par suite, ont conduit aux espaces fonctionnels et à l’analyse fonctionnelle.

Le résultat le plus profond d’Hadamard dans cette théorie est la résolution complète des équations hyperboliques avec l’utilisation des solutions élémentaires, telle qu’il l’expose sous forme définitive dans son livre Le Problème de Cauchy et les équations linéaires hyperboliques. Étant donné une hypersurface S et une équation de type hyperbolique (cf. équations aux DÉRIVÉES PARTIELLES), le problème de Cauchy est correctement posé et la solution en un point a ne dépend que des conditions initiales et du second membre dans la région limitée par S et le conoïde caractéristique issu de a. Pour surmonter les difficultés de divergence des intégrales sur le cône caractéristique, Hadamard introduit et utilise la notion de partie finie de certaines intégrales divergentes, qui s’interprète de nos jours de manière très satisfaisante dans le cadre de la théorie des distributions. Le cas d’un nombre impair de variables se résout alors avec une extension de la formule de Green aux parties finies, tandis que le cas d’un nombre pair m de variables demande une approche plus délicate par une méthode de descente pour passer de m + 1 à m. À propos de l’équation des ondes à un nombre pair de variables, Hadamard se livre à une analyse du «principe de Huygens». Indiquons enfin qu’il a étudié les problèmes, appelés par lui «problèmes mixtes», qui interviennent dans la théorie des fluides compressibles.

Varia

Hadamard a publié des articles sur des sujets extrêmement variés, allant du calcul des probabilités à la mécanique céleste, de la géométrie pure à la mécanique des fluides, et l’on se bornera ici à des indications très sommaires.

Ramenant les considérations géométriques de Volterra sur les fonctions de ligne à l’étude analytique des fonctionnelles linéaires, il a fait faire un pas important à l’analyse fonctionnelle; on lui doit une description des fonctionnelles linéaires sur l’espace des fonctions continues sur un intervalle. La voie, ouverte par H. Poincaré, de l’intégration qualitative des équations différentielles l’a conduit à étudier la répartition des géodésiques sur les surfaces. Son mémoire le plus important est relatif, pour les surfaces à courbure négative, à la classification des géodésiques suivant leur intersection avec les géodésiques fermées; il dégage ainsi le rôle du groupe de Poincaré de la surface, ce qui le conduit à des recherches du domaine de l’analysis situs , comme on disait à l’époque pour désigner les notions d’ordre topologique. En liaison avec le calcul fonctionnel, on lui doit, dans un cas particulier de calcul des variations, la première idée de la programmation dynamique.

De 1909 à 1937, le séminaire d’Hadamard au Collège de France a été un des hauts lieux de la pensée mathématique en France. Sans exclusive, on y analysait et on y exposait tous les résultats récents dans les domaines les plus variés des mathématiques pures et appliquées. Cette formule de séminaire, qui est devenue de nos jours un des rouages essentiels de la recherche, a été ainsi inaugurée par Hadamard.

Jusqu’à la fin de sa longue vie – il meurt à l’âge de 98 ans –, Hadamard s’est tenu au courant de l’activité mathématique et s’est intéressé aux problèmes philosophiques posés par l’exercice de cette discipline, particulièrement à la psychologie de l’invention. Dans un essai fameux, il a tenté d’analyser les mécanismes qui président à la création dans le domaine mathématique, dégageant le rôle fondamental des «images vagues», qui sont ensuite précisées par une analyse intellectuelle.

Encyclopédie Universelle. 2012.

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